As duas palavras existem, mas têm sentidos diferentes.
Ilícito, que pode ser adjetivo e substantivo, é muito mais usual no cotidiano e significa o que é proibido por lei, o que não é lícito, o que vai contra os princípios da moral e do direito. Exemplo: enriquecimento ilícito.
Já elícito, apenas adjetivo, é o que é atraído, seduzido, aliciado. Seu uso é obsoleto, raro hoje em dia, quase não se verá em textos contemporâneos.
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http://www.priberam.pt/DLPO/default.aspx?pal=merc%u00ea
Eliciar v. tr.
http://www.priberam.pt/DLPO/default.aspx?pal=eliciou